Введение Отличия алгебры от арифметики Множества Стандартный вид числа Числовая ось Координатная плоскость Числовые промежутки Расстояние между точками Греческий алфавит Алгебраические выражения Определение и виды Названия выражений Свойства сложения Свойства умножения Алгебраическая сумма Раскрытие скобок Равенство Тождество Целые числа Определение и сравнение Сложение и вычитание Умножение и деление Противоположные числа Рациональные числа Определение и сравнение Действия с рациональными числами Отрицательные дроби Модуль числа Степени и корни Умножение и деление степеней Свойства степени Первая и нулевая степень Отрицательная степень Корень из числа Таблица квадратных корней Извлечение корня Дробная степень Иррациональные выражения Одночлены и многочлены Одночлены Степень одночлена Сложение и вычитание одночленов Умножение одночленов Деление одночленов Многочлены Сложение и вычитание многочленов Умножение одночлена на многочлен Умножение многочлена на многочлен Квадрат суммы и разности, разность квадратов Вынесение общего множителя за скобки Разложение способом группировки Формулы сокращённого умножения Уравнения Уравнение и корни Преобразование Решение уравнений с одним неизвестным Степень уравнения Системы уравнений Квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения Теорема Виета Биквадратные уравнения Неравенства Описание и свойства Сложение и умножение С одной переменной Алгебраические дроби Сокращение Приведение к общему знаменателю Сложение и вычитание Умножение и деление Пропорциональность Прямая и обратная Пропорциональное деление Задачи на пропорциональное деление Функции Определение Способы задания Графики функций Арифметическая прогрессия Определение и свойство Формула n-го члена Сумма членов Геометрическая прогрессия Логарифмы Описание и свойства Десятичные логарифмы Натуральные логарифмы

Неравенства

• Свойства неравенств

Неравенство — это запись, в которой числа, переменные или выражения соединены знаком

• <  (меньше),
• >  (больше),
• ⩽  (меньше или равно),
• ⩾  (больше или равно).

То есть неравенством можно назвать сравнение чисел, переменных или выражений. Знаки  <,  >,  ⩽  и  ⩾  называются знаками неравенства.

Виды неравенств и как они читаются:

a < b	—  a  меньше  b;
a > b	—  a  больше  b;
a ⩽ b	—  a  меньше или равно  b  (a  не больше  b);
a ⩾ b	—  a  больше или равно  b  (a  не меньше  b).

Как видно из примеров, все неравенства состоят из двух частей: левой и правой, соединённых одним из знаков неравенства. В зависимости от знака, соединяющего части неравенств, их делят на строгие и нестрогие.

Строгие неравенства — неравенства, у которых части соединены знаком  <  или  >.  Нестрогие неравенства — неравенства, у которых части соединены знаком  ⩽  или  ⩾.

Рассмотрим основные правила сравнения в алгебре:

• Любое положительное число больше нуля:

  0,001 > 0.

• Любое отрицательное число меньше нуля:

  -1000 < 0.

• Из двух отрицательных чисел больше то, у которого абсолютная величина меньше. Например:

  -1 > -7,

  так как |-1| < |-7|.
• Если разность двух неравных чисел  a  и  b  положительна:

  a - b > 0,

  то  a  больше  b  (a > b).
• Если разность двух неравных чисел  a  и  b отрицательна:

  a - b < 0,

  то  a  меньше  b  (a < b).
• Если число больше нуля, то оно положительное:

  a > 0,  значит  a  — положительное число.

• Если число меньше нуля, то оно отрицательное:

  a < 0,  значит a  — отрицательное число.

Равносильные неравенства — неравенства, являющиеся следствием другого неравенства. Например, если  a  меньше  b,  то  b  больше  a:

a < b   и   b > a  — равносильные неравенства.

Свойства неравенств

Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число или вычесть из обеих частей одно и то же число, то получится равносильное неравенство.

Например, если  a > b,  то

a + c > b + c

и

a - c > b - c.

Из этого следует, что можно переносить члены неравенства из одной части в другую с противоположным знаком. Например, прибавив к обеим частям неравенства  a - b > c - d  по  d,  получим:

a - b > c - d;

a - b + d > c - d + d;

a - b + d > c.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное неравенство.

Например, если  a > b,  то

ac > bc

и

a	>	b	.
c		c

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то получится неравенство противоположное данному

Например, если  a > b  умножить на  -c,  то

-ac < -bc

и

-	a	< -	b	.
	c		c

Следовательно, при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число надо изменить знак неравенства на противоположный.

Это свойство можно использовать для изменения знаков у всех членов неравенства, умножая обе его части на  -1  и изменяя знак неравенства на противоположный:

-a + b > -c;

(-a + b) · -1 < (-c) · -1;

a - b < c.

Неравенство  -a + b > -c  равносильно неравенству  a - b < c.