EduShkola.ru
Введение Отличия алгебры от арифметики Множества Стандартный вид числа Числовая ось Координатная плоскость Числовые промежутки Расстояние между точками Греческий алфавит Алгебраические выражения Определение и виды Названия выражений Свойства сложения Свойства умножения Алгебраическая сумма Раскрытие скобок Равенство Тождество Целые числа Определение и сравнение Сложение и вычитание Умножение и деление Противоположные числа Рациональные числа Определение и сравнение Действия с рациональными числами Отрицательные дроби Модуль числа Степени и корни Умножение и деление степеней Свойства степени Первая и нулевая степень Отрицательная степень Корень из числа Таблица квадратных корней Извлечение корня Дробная степень Иррациональные выражения Одночлены и многочлены Одночлены Степень одночлена Сложение и вычитание одночленов Умножение одночленов Деление одночленов Многочлены Сложение и вычитание многочленов Умножение одночлена на многочлен Умножение многочлена на многочлен Квадрат суммы и разности, разность квадратов Вынесение общего множителя за скобки Разложение способом группировки Формулы сокращённого умножения Уравнения Уравнение и корни Преобразование Решение уравнений с одним неизвестным Степень уравнения Системы уравнений Квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения Теорема Виета Биквадратные уравнения Неравенства Описание и свойства Сложение и умножение С одной переменной Алгебраические дроби Сокращение Приведение к общему знаменателю Сложение и вычитание Умножение и деление Пропорциональность Прямая и обратная Пропорциональное деление Задачи на пропорциональное деление Функции Определение Способы задания Графики функций Арифметическая прогрессия Определение и свойство Формула n-го члена Сумма членов Геометрическая прогрессия Логарифмы Описание и свойства Десятичные логарифмы Натуральные логарифмы

Одночлены

Одночлен — это алгебраическое выражение, представляющее собой число, переменную, их степени с натуральным показателем, а также любые произведения, составленные из них.

Пример. 12,  ,  m,  (-2)3,  a2,  5abc,  a3x,  3,7c(-2ab2)  — одночлены.

Выражения  x + 2  или    не являются одночленами, так как представляют сумму или частное переменных и числа.

Число  0  называют нулевым одночленом.

Буквы и числа одночлена, представляющего собой произведение, называют множителями данного одночлена. При этом числа называют числовыми множителями одночлена, а буквы — буквенными множителями одночлена.

Пример. Назовите числовые и буквенные множители одночлена  5abc.

Решение:

Множителями данного одночлена являются число  5  и буквы  a,  b,  c:

Числовой множитель:  5.

Буквенные множители:  a,  b,  c.

Стандартный вид одночлена

Стандартный вид одночлена — это запись одночлена, представляющая собой число, степень переменной или произведение, в котором только один числовой множитель, записанный на первом месте, а каждая его буква участвует в его записи лишь один раз, при этом буквы записаны в алфавитном порядке.

Пример.  7,  a,  -3xy2,  1abс  — одночлены стандартного вида.

А вот следующие одночлены записаны не в стандартном виде:

12aa3b   и   4cb(−2)y,

так как первый содержит одинаковые буквы, а во втором два числовых множителя и буквенные множители записаны не в алфавитном порядке.

Стандартный вид нулевого одночлена есть  0.

Коэффициент одночлена

Коэффициент одночлена — это числовой множитель в одночлене стандартного вида, который содержит хотя бы одну переменную. Понятие коэффициент также относят к одночленам стандартного вида, представляющим собой числа без буквенных множителей. Коэффициентами таких одночленов считаются сами числа.

Пример. Одночлены

-7ab3,   Коэффициент одночлена,   -1x,   15

записаны в стандартном виде. Их коэффициенты соответственно равны числам  -7,  Коэффициент одночлена,  -1,  15.

Коэффициент одночлена, равный  1  или  -1  обычно не пишут.

Если одночлен имеет только буквенные множители, то условились считать, что его коэффициент равен  +1  или  -1,  в зависимости от знака, который стоит (или подразумевается) перед одночленом.

Пример. Одночлены

a,   -xy

записаны в стандартном виде. Коэффициент первого из них равен  1,  второго  -1,  так как

a = 1 · a,    -xy = -1 · xy.

Целый положительный коэффициент означает, сколько раз повторяется слагаемым буквенное выражение, перед которым он стоит.

Пример.

3ab = (ab) · 3 = ab + ab + ab.

Дробный положительный коэффициент означает, какая часть берётся от буквенного выражения, к которому он относится.

Пример. В одночлене    коэффициент означает, что от  x2  берётся  ,  потому что  ,  а умножить на    значит взять    от множимого.

Отрицательный коэффициент означает, что буквенное выражение, перед которым он стоит, умножается на абсолютную величину этого коэффициента и результат берётся с противоположным знаком.

Пример.

-4mn = -4 · mn = -(mn + mn + mn + mn).

Приведение одночлена к стандартному виду

С одночленами удобнее работать, когда они записаны в стандартном виде. Любой одночлен можно привести к стандартному виду путём тождественных преобразований. Процесс таких преобразований называют приведением одночлена к стандартному виду.

Привести одночлен к стандартному виду — значит выполнить с ним такие тождественные преобразования, чтобы он принял стандартный вид.

Чтобы привести одночлен к стандартному виду надо:

  1. Выполнить группировку числовых множителей (если их несколько), а также одинаковых буквенных множителей и их степеней.
  2. Вычислить произведение числовых множителей и по свойству степеней с одинаковыми основаниями перемножить буквенные множители.
  3. Поставить на первое место числовой множитель, а после него расположить буквенные множители в алфавитном порядке.

Пример 1. Запишите одночлен  -2b(-3)x34ab2x2  в стандартном виде.

Решение:

Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, сгруппируем по отдельности числовые и одинаковые буквенные множители. В результате исходный одночлен примет вид:

((-2) · (-3) · 4) · (b · b2) · (x3 · x2) · a.

Перемножаем числовые множители и степени с одинаковыми основаниями. Произведение числовых множителей равно  24.  Произведение степеней  b  равно  b · b2 = b3.  Произведение степеней  x  равно  x3 · x2 = x5:

24 · b3 · x5 · a.

Записываем на первом месте числовой множитель, а после него располагаем буквенные множители в алфавитном порядке. В итоге получаем одночлен стандартного вида:

24ab3x5.

Следовательно:

-2b(-3)x34ab2x2 = ((-2) · (-3) · 4) · (b · b2) · (x3 · x2) · a = 24 · b3 · x5 · a = 24ab3x5.

Пример 2. Представить одночлен  -2a4c0b  в стандартном виде.

Решение:

Среди своих множителей, данный одночлен имеет множитель  0,  значит всё произведение в результате будет равно  0.  Стандартный вид нулевого одночлена есть  0:

-2a4c0b = 0.